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2018屆高三數學(理)二輪復習課件:第1部分 專題6 第2講 排列、組合、2項式定理

資料類別: 數學/課件

所屬版本: 通用

所屬地區: 全國

上傳時間:2018/3/16

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* * * * * * * * * * * 類題通法 考點三   二項式定理 演練沖關 考點三   二項式定理 考點三   二項式定理 演練沖關 考點三   二項式定理 演練沖關 考點三   二項式定理 演練沖關 考點四 二項式定理與其他知識交匯命題 考點四 二項式定理與其他知識交匯命題 類題通法 考點四 二項式定理與其他知識交匯命題 演練沖關 考點四 二項式定理與其他知識交匯命題 考點四 二項式定理與其他知識交匯命題 演練沖關 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 專題六   算法、復數、推理與證明、概率 第二講 排列、組合、二項式定理 熱點聚焦  題型突破 限時規范訓練 高考體驗  真題自檢 目  錄 ONTENTS 考情分析 1 考情分析 1 真題自檢 2 C  2 真題自檢 C  2 真題自檢 D  2 真題自檢 10 2 真題自檢 3  方法結論 考點一   兩個原理 題組突破 考點一   兩個原理 題組突破 考點一   兩個原理 題組突破 考點一   兩個原理 誤區警示 考點一   兩個原理 考點二 排列、組合 方法結論 題組突破 考點二 排列、組合 題組突破 考點二 排列、組合 題組突破 考點二 排列、組合 題組突破 考點二 排列、組合 誤區警示 考點二 排列、組合 考點三   二項式定理 方法結論 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1.(2017·高考全國卷)在(1+x)6的展開式中x2的系數為(  )
A.15     	B.20
C.30 	D.35
解析:(1+x)6展開式的通項Tr+1=Cxr,所以(1+x)6的展開式中x2的系數為1×C+1×C=30,故選C.
2.(2015·高考全國卷)在(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數為(  )
A.10 B.20C.30 	D.60
解析:法一:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
含y2的項為T3=C(x2+x)3·y2.
其中(x2+x)3中含x5的項為Cx4·x=Cx5.
所以x5y2的系數為CC=30.
法二:(x2+x+y)5為5個x2+x+y之積,其中有兩個取y,兩個取x2,一個取x即可,所以x5y2的系數為CCC=30.
3.(2017·高考全國卷)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有(  )
A.12種 	B.18種
C.24種 	D.36種
4.(2016·高考全國卷)在(2x+)5的展開式中,x3的系數是________.(用數字填寫答案)
解析:(2x+)5展開式的通項為Tr+1=C(2x)5-r·()r=25-r·C·x5-.
令5-=3,得r=4.
故x3的系數為25-4·C=2C=10.
5.(2015·高考全國卷)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32,則a=________.
解析:設(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.
①-,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,a=3.
兩個計數原理解題的方法
(1)在應用分類加法計數原理和分步乘法計數原理時,一般先分類再分步,每一步當中又可能用到分類計數原理.
(2)對于復雜的兩個原理綜合使用的問題,可恰當列出示意圖或表格,使問題形象化、直觀化.
1.有一種小型電子游戲,界面是一個以A,B,C,D,E,F為頂點的正六邊形,一只電子貓開始在頂點A處,它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一.若在5次之內跳到D點,則停止跳動,播放成功音樂顯示中獎;若在5次之內不能到達D點,則跳完5次也停止跳動,播放失敗音樂顯示沒有中獎.那么這只電子貓從開始到停止,可能出現的不同跳法種數有(  )
A.20      B.22
C.26 	D.28
電子貓不能經過跳1次、2次或4次到達D點,則電子貓的跳法只有以下兩種:(1)電子貓跳3次到達D點,有ABCD,AFED 2種跳法.(2)電子貓一共跳5次后停止,那么,前3次跳一定不到達D,只能到達B或F,則共有AFEF,AFAF,ABAF,ABCB,ABAB,AFAB,這6種跳法;隨后的兩次跳法各有4種,比如由F出發的有FEF,FED,FAF,FAB,共4種,因此共有6×4 =24(種)不同的跳法.綜上可知,一共有2+24=26(種)不同跳法.故選C.
C
2.(2017·河北教學質量監測)有A,B,C,D,E五位學生參加網頁設計比賽,決出了第一到第五的名次.A、B兩位學生去問成績,老師對A說:你的名次不知道,但肯定沒得第一名;又對B說:你是第三名.請你分析一下,這五位學生的名次排列的種數為(  )
A.6 	B.18
C.20 	D.24

由題意知,名次排列的種數為CA=18.

B
(元素優先法)先給最上面的一塊涂色,有4種方法,再給中間左邊一塊涂色,有3種方法,再給中間右邊一塊涂色,有2種方法,最后再給下面一塊涂色,有2種方法,根據分步乘法計數原理,共有4×3×2×2=48(種)方法.
3.(2017·廣州聯考)現有4種不同顏色對如圖所示的四個部分進行涂色,要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色,則不同的涂色方法共有(  )
A.24種 	B.30種
C.36種 	D.48種
D
利用兩個原理解決應用問題時最易忽視判斷對完成的事件是分類完成還是分步完成.
求解排列、組合問題常用的解題方法
(1)元素相鄰的排列問題——“捆綁法”;
(2)元素相間的排列問題——“插空法”;
(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”;
(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法;
(5)分組分配問題
平均分組問題分組數計算時要注意除以組數的階乘.
不平均分組問題實質上是組合問題.
1.(2017·鄭州檢測)從1,2,3,4,5這五個數字中任取3個組成無重復數字的三位數,當三個數字中有2和3時,2需排在3的前面(不一定相鄰),這樣的三位數有(  )
A.51個    	B.54個
C.12個 	D.45個
分三類:第一類,沒有2,3,由其他三個數字組成三位數,有A=6(個);
第二類,只有2或3,需從1,4,5中選兩個數字,可組成2CA=36(個);
第三類,2,3均有,再從1,4,5中選一個,因為2需排在3的前面,所以可組成CA=9(個).
故這樣的三位數共有51個,故選A.

A
先在4位男生中選出2位,易知他們是可以交換位置的,則共有A種選法,然后再將2位女生全排列,共有A種排法,最后將3組男生插空全排列,共有A種排法.綜上所述,共有AAA=144種不同的排法,故選C.
2.4位男生和2位女生排成一排,男生有且只有2位相鄰,則不同排法的種數是(  )
A.72 	B.96
C.144 	D.240

C
由題意,不考慮特殊情況有C種取法,其中每一種卡片各取3張有4種取法,兩種紅色卡片共有CC種取法,故所求的取法種數為C-4-CC=189,選C.
3.(2017·太原模擬)現有12張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各3張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同的取法種數是(  )
A.135 	B.172
C.189 	D.162

C
4.從一架鋼琴挑出的10個音鍵中,分別選擇3個,4個,5個,…,10個鍵同時按下,可發出和聲,若有一個音鍵不同,則發出不同的和聲,則這樣的不同的和聲數為________(用數字作答).

依題意共有8類不同的和聲,當有k(k=3,4,5,6,7,8,9,10)個鍵同時按下時,有C種不同的和聲,則和聲總數為C+C+C+…+C=210-C-C-C=1 024-1-10-45=968.

968

對于復雜問題的排列、組合問題,要注意分類討論思想的運用,分類時按某一標準進行,切勿因分類標準不定造成漏解或多解.
1.通項與二項式系數
Tk+1=Can-kbk(k=0,1,2,…,n),其中C叫作二項式系數.
2.各二項式系數之和
(1)C+C+C+…+C=2n;
(2)C+C+…=C+C+…=2n-1.
3.二項式系數的最大項由n的奇偶性決定
當n為奇數時,中間兩項的二項式系數最大;
當n為偶數時,中間一項的二項式系數最大.
[典例](1)(2017·合肥模擬)已知(ax+b)6的展開式中x4項的系數與x5項的系數分別為135與-18,則(ax+b)6的展開式中所有項系數之和為(  )
A.-1     	B.1
C.32 	D.64

由二項展開式的通項公式可知x4項的系數為Ca4b2,x5項的系數為Ca5b,則由題意可得,解得a+b=±2,故(ax+b)6的展開式中所有項的系數之和為(a+b)6=64,選D.

D
(2)(2017·高考全國卷)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數為(  )
A.-80 	B.-40
C.40 	D.80

當第一個括號內取x時,第二個括號內要取含x2y3的項,即C(2x)2(-y)3,當第一個括號內取y時,第二個括號內要取含x3y2的項,即C(2x)3(-y)2,所以x3y3的系數為C×23-C×22=10×(8-4)=40.

C
1.賦值法解決二項展開式中所有項的系數和問題,如(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.令x=0,可得a0,令x=1,可得a0+a1+…+a7值,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…-a7值,若(1-2x)7展開式變為(1-2x)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,再求相關系數和時,x賦值要變化.
2.幾個二項式積展開式中某項的系數的求法多用搭配法.
1.(2017·長沙模擬)(x2-)6的展開式中(  )
A.不含x9項   	B.含x4項
C.含x2項 	D.不含x項

Tr+1=(-1)rCx12-2rx-r=(-1)r·Cx12-3r,故x的次數為12,9,6,3,0,-3,-6.選D.

D

2.(2017·沈陽模擬)(x+)6的展開式中的常數項為________.

二項展開式的通項Tr+1=Cx6-r()r=C()rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,故常數項為C()3=.


3.(2017·武漢模擬)(1-)6(1+)4的展開式中x的系數是________.
解析:法一:(1-)6的展開式的通項為C(-)m=C(-1)mx,其中m=0,1,…,6;
(1+)4的展開式的通項為C()n=Cx,其中n=0,1,…,4.
令+=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展開式中x的系數等于C(-1)0·C+C(-1)1·C+C(-1)2·C=-3.故填-3.
法二:在(1-)6(1+)4的展開式中要出現x,可分以下三種情況:
(1-)6中選2個(-),(1+)4中選0個作積,這樣得到的x項的系數為CC=15;
(1-)6中選1個(-),(1+)4中選1個作積,這樣得到的x項的系數為C(-1)1·C=-24;
(1-)6中選0個(-),(1+)4中選2個作積,這樣得到的x項的系數為CC=6.
于是展開式中x的系數為15-24+6=-3.故填-3.
答案:-3
二項式定理是考查重點,主要與定積分計算、數列、函數、算法等交匯命題.難度不大.
[典例] (2017·長春模擬)設4的展開式中x2的系數為m,則直線y=x與曲線y=x2所圍成的圖形的面積為(  )
A.      B.
C.2  D.
4的展開式的通項為
Tr+1=Cxr-4x2r=Cx3r-4,
令3r-4=2,得r=2,則m=C=6.
又直線y=2x與曲線y=x2的交點坐標為(0,0)和(2,4),則它們所圍成的圖形的面積
S=(2x-x2)dx==.
A
解決此類問題必知的兩點
(1)分清題目中的交匯點.
(2)轉化為各自的知識去解決問題.
1.(2017·河南三市調研)已知i為執行如圖所示的程序框圖輸出的結果,則二項式6的展開式中x-2的系數是(  )
A.-21 	B.21
C.-42 	D.42

第一次運行:s=1,i=2;
第二次運行:s=3,i=3;
第三次運行:s=7,i=4;
第四次運行:s=15,i=5;
第五次運行:s=31,i=6;
第六次運行:s=63,i=7;
第七次運行:s=127,不滿足循環繼續的條件,故輸出的i=7.
所以二項式6的展開式的通項為C(-1)r76-rx3-r,當r=5時,得x-2的系數為-42.
C
2.設f(x)的表達式是6的展開式的中間項,若存在x,使f(x)≤mx成立,則實數m的取值范圍是(  )
A.  	B.
C.  	D.

6的展開式的中間項為
T4=C3x3=x3,得f(x)=x3,
由存在x,使f(x)≤mx成立,
得x3≤mx在x時成立,
即x2≤m在x時成立,
又函數y=x2在上遞增,故m≥×2=.

D
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